Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \(E = 2x^2 + 2xy + 5y^2 - 8x - 22y\), chúng ta có thể sử dụng phương pháp tính đạo hàm và giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

1. **Tính đạo hàm riêng theo x và y:**

Đầu tiên, ta tính đạo hàm riêng của \(E\) theo \(x\) và \(y\):

\[
\frac{\partial E}{\partial x} = 4x + 2y - 8
\]

\[
\frac{\partial E}{\partial y} = 2x + 10y - 22
\]

2. **Giải phương trình đạo hàm bằng 0:**

Ta giải hệ phương trình sau:

\[
4x + 2y - 8 = 0 \quad (1)
\]

\[
2x + 10y - 22 = 0 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1), ta có:

\[
2y = 8 - 4x \quad \Rightarrow \quad y = 4 - 2x \quad (3)
\]

Thay (3) vào phương trình (2):

\[
2x + 10(4 - 2x) - 22 = 0
\]

\[
2x + 40 - 20x - 22 = 0
\]

\[
-18x + 18 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Thay \(x = 1\) vào (3) để tìm \(y\):

\[
y = 4 - 2(1) = 2
\]

3. **Tính giá trị E tại (1, 2):**

Thay \(x = 1\) và \(y = 2\) vào hàm \(E\):

\[
E(1, 2) = 2(1)^2 + 2(1)(2) + 5(2)^2 - 8(1) - 22(2)
\]

\[
= 2 + 4 + 20 - 8 - 44 = -26
\]

4. **Kiểm tra tính chất cực trị:**

Để xác định đây là giá trị nhỏ nhất, ta cần kiểm tra ma trận Hessian. Tính các đạo hàm bậc hai:

\[
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = 4, \quad \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} = 10, \quad \frac{\partial^2 E}{\partial x \partial y} = 2
\]

Ma trận Hessian \(H\) là:

\[
H = \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
2 & 10
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức của Hessian:

\[
\text{det}(H) = 4 \cdot 10 - 2 \cdot 2 = 40 - 4 = 36 > 0
\]

Và \(H_{11} = 4 > 0\). Do đó, ma trận Hessian dương xác định, chứng tỏ \(E\) đạt cực tiểu tại điểm này.

Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất của \(E\) là:

\[
\boxed{-26}
\]