Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác \(IBC\) cân

1. **Giả thiết**: Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) → \(AB = AC\).
2. Tiến hành kẻ phân giác:
- Tia \(BE\) là phân giác của \(\angle ABC\), nên \(\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}\)
- Tia \(CF\) là phân giác của \(\angle ACB\), nên \(\frac{AF}{FB} = \frac{AC}{BC}\)
3. Do \(AB = AC\), từ đó \(\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{FB}\) → theo định lý phân giác, \(IB = IC\).
4. Vậy \(IBC\) là tam giác cân.

### b) Chứng minh \(EF \parallel BC\)

1. Để chứng minh \(EF \parallel BC\), ta sẽ áp dụng định lý góc đồng vị.
2. Bởi vì \(BE\) và \(CF\) là tia phân giác, do đó:
- \(\angle ABE = \angle EBC\)
- \(\angle ACF = \angle FCB\)
3. Các góc này đều được thành lập từ các tia phân giác và bởi tính chất của góc ở một cạnh của tam giác.
4. Do đó, ta có \(\angle ABE + \angle EBC = \angle ACF + \angle FCB\) → các góc đồng vị.
5. Vậy \(EF \parallel BC\).

### c) Chứng minh \(AI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\)

1. Từ \(I\) là giao điểm của hai tia phân giác \(BE\) và \(CF\), có nghĩa là \(IB = IC\).
2. Do đó, \(AI\) chia \(BC\) thành hai đoạn bằng nhau → \(AI\) là đường trung trực.

### d) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh \(A, I, M\) thẳng hàng.

1. Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BM = MC\).
2. Từ \(AI\) là đường trung trực của \(BC\) → \(A, I, M\) sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.
3. Vậy \(A, I, M\) thẳng hàng.

Tổng kết: Bằng các lý luận trên, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.