Để giải bài tập trên, ta thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh \(\triangle AMB \cong \triangle CMD\)

Ta có:
- \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\) nên \(AM = MC\).
- \(MB = MD\) (theo đề bài).
- \(AB\) và \(CD\) là các cạnh tương ứng.

Áp dụng tiêu chí đồng dạng tam giác (cạnh – cạnh – cạnh), ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle CMD
\]

### b) Chứng minh \(\frac{AB}{CD}\)

Từ hai tam giác đồng dạng \(\triangle AMB\) và \(\triangle CMD\), ta có:
\[
\frac{AB}{MB} = \frac{CD}{MD} \implies AB \cdot MD = CD \cdot MB
\]
Do \(MB = MD\), ta có
\[
AB = CD
\]

### c) Lấy điểm \(I\) thuộc đoạn \(AB\), điểm \(K\) thuộc đoạn \(CD\) sao cho \(BI = DK\)

Từ các tam giác đồng dạng đã chứng minh ở trên, ta có:
- Chứng minh \(\triangle BIM \cong \triangle DKM\):
- \(BI = DK\) (theo giả thiết).
- \(MB = MD\).
- \(IM = KM\) (do \(I\) và \(K\) thuộc các đoạn thẳng).

Áp dụng tiêu chí chứng minh tam giác, ta có:
\[
\triangle BIM \cong \triangle DKM
\]

### Chứng minh 3 điểm \(I, M, K\) thẳng hàng

Hai tam giác đồng dạng \(\triangle BIM\) và \(\triangle DKM\) cho ta:
- Từ mối quan hệ giữa các đoạn thẳng, có thể chứng minh rằng ba điểm \(I, M, K\) thẳng hàng do tỉ lệ đồng dạng của các cạnh.

Như vậy, hoàn thành bài toán với các chứng minh theo đúng yêu cầu.