Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( P = \frac{4x - 3}{x^2 + 1} \), ta sẽ thực hiện như sau:

1. **Tính đạo hàm**:
Để tìm cực trị, ta cần tính đạo hàm \( P' \) và giải phương trình \( P' = 0 \).

\[
P' = \frac{(4)(x^2 + 1) - (4x - 3)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - (8x^2 - 6x)}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
= \frac{-4x^2 + 6x + 4}{(x^2 + 1)^2}
\]

Để tìm điểm cực trị, giải \( -4x^2 + 6x + 4 = 0 \) bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-4)(4)}}{2(-4)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{-8}
\]

\[
= \frac{-6 \pm 10}{-8}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-16}{-8} = 2
\]

2. **Tính giá trị của \( P \) tại các điểm cực trị**:
Tính \( P(-\frac{1}{2}) \) và \( P(2) \).

\[
P\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{4(-\frac{1}{2}) - 3}{(-\frac{1}{2})^2 + 1} = \frac{-2 - 3}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{-5}{\frac{5}{4}} = -4
\]

\[
P(2) = \frac{4(2) - 3}{2^2 + 1} = \frac{8 - 3}{4 + 1} = \frac{5}{5} = 1
\]

3. **Tính giới hạn khi \( x \to \pm \infty \)**:
\[
\lim_{x \to \infty} P(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{4x - 3}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{x + \frac{1}{x}} = 0
\]

\[
\lim_{x \to -\infty} P(x) = 0
\]

4. **Kết luận**:
Từ giá trị tại các cực trị và giới hạn, ta có:

- Giá trị lớn nhất \( GTLN = 1 \) (tại \( x = 2 \)).
- Giá trị nhỏ nhất \( GTNN = -4 \) (tại \( x = -\frac{1}{2} \)).

Vậy giá trị nhỏ nhất là \(-4\) và giá trị lớn nhất là \(1\).