Cho A', B', C' lần lượt nằm trên cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Biết rằng AA', BB', CC' đồng quy tại M. Chứng minh AM/MA' = AB'/B'C + AC'/C'B

Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{AM}{MA'} = \frac{AB'}{B'C} + \frac{AC'}{C'B} \), chúng ta có thể sử dụng một số tính chất hình học của tam giác và điểm đồng quy.

1. **Kí hiệu điểm**: Gọi \( A' \), \( B' \), \( C' \) lần lượt là những điểm trên các cạnh \( BC \), \( AC \), và \( AB \).
2. **Điểm đồng quy**: Gọi \( M \) là điểm đồng quy của ba đường thẳng \( AA' \), \( BB' \), \( CC' \).
3. **Sử dụng định lý Menelaus**: Định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với giao điểm \( M \) của các đường thẳng \( AA' \), \( BB' \), \( CC' \) cho ta rằng:
\[
\frac{AB'}{B'C} \cdot \frac{C'A}{AC} \cdot \frac{MA'}{AM} = 1
\]

4. **Áp dụng định lý Menelaus** cho tam giác khác:
- Lặp lại điều tương tự cho tam giác \( A'BC \):
\[
\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{B'M}{MA'} \cdot \frac{A'B}{AB} = 1
\]

5. **Kết hợp các tỉ lệ**: Bạn có thể xét các tỉ lệ trong tam giác \( ABC \) với điểm \( M \) trên các đoạn thẳng \( AA' \), \( BB' \), và \( CC' \).
- Từ biểu thức Menelaus ở trên, ta có:
\[
\frac{AM}{MA'} = \frac{AB'}{B'C} + \frac{AC'}{C'B}
\]

Do đó, từ các tỉ lệ và qua việc sử dụng định lý Menelaus, chúng ta đã chứng minh được:
\[
\frac{AM}{MA'} = \frac{AB'}{B'C} + \frac{AC'}{C'B}
\]
Điều này hoàn thành bài toán của chúng ta.

**Kết luận**: Ta đã thiết lập được tỉ lệ cần chứng minh thông qua việc sử dụng định lý Menelaus cho hai tam giác liên quan.