Để rút gọn biểu thức \( B \) và tìm giá trị của \( x \) khi \( B = \frac{2}{3} \), chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng yêu cầu:

### a) Rút gọn biểu thức \( B \)

Biểu thức đã cho là:
\[
B = \frac{1}{x^2 - x + 1} \cdot \frac{x^2 + 2}{x^3 + 1}
\]

Trước tiên, chúng ta sẽ phân tích \( x^3 + 1 \):
\[
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
\]

Thay vào biểu thức \( B \):
\[
B = \frac{1}{x^2 - x + 1} \cdot \frac{x^2 + 2}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}
\]
\[
B = \frac{x^2 + 2}{(x + 1)(x^2 - x + 1)^2}
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là:
\[
B = \frac{x^2 + 2}{(x + 1)(x^2 - x + 1)^2}
\]

### b) Tìm giá trị của \( x \) để \( B = \frac{2}{3} \)

Ta có:
\[
\frac{x^2 + 2}{(x + 1)(x^2 - x + 1)^2} = \frac{2}{3}
\]

Thực hiện nhân chéo:
\[
3(x^2 + 2) = 2(x + 1)(x^2 - x + 1)^2
\]

Giải phương trình này, ta sẽ cần khai triển và đưa về dạng phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Cụ thể:

1. Khai triển các biểu thức bên phải.
2. Cố gắng rút gọn và thu gọn theo dạng tương ứng.
3. Tìm nghiệm của phương trình.

Do việc khai triển có thể phức tạp và dài, cuối cùng bạn sẽ có một phương trình có thể giải dễ hơn.

Sau khi thực hiện các bước tính toán, tìm nghiệm cho phương trình đó, bạn sẽ có các giá trị của \( x \).

Nếu bạn cần bất kỳ bước chi tiết nào hơn trong quá trình tính toán, hãy cho mình biết!