Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( M = B(A-1) \) là số nguyên, ta sẽ phân tích biểu thức \( A \) và \( B \) theo \( x \):

1. **Xác định \( A \)**:

\[
A = \frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x}+2}
\]

2. **Xác định \( B \)**:

\[
B = \left( \frac{\sqrt{x+4} + \frac{4}{\sqrt{x}-4}}{\sqrt{x}+2} \right)(x+16) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}+2}
\]

3. **Tính \( A - 1 \)**:

\[
A - 1 = \frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x}+2} - 1 = \frac{\sqrt{x+4} - (\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2}
\]

4. **Biểu thức \( M \)**:

\[
M = B \cdot (A - 1)
\]

Để \( M \) là số nguyên, ta cần điều kiện:

- Đảm bảo cả \( A \) và \( B \) là số hữu tỉ.
- Phân tích các điều kiện của \( \sqrt{x+4} \) và \( \sqrt{x} \) để bảo đảm rằng các biểu thức trong \( A \) và \( B \) đã xác định.

### Tìm giá trị nghiệm cho \( x \):

Giải các điều kiện trên và tìm các giá trị nguyên:

- \( x \geq 0 \)
- \( x \neq 16 \)

Bắt đầu với những số nguyên dương và thử từng giá trị để kiểm tra tính nguyên của \( M \).

1. **Với \( x = 0 \)**:
- Tính \( A \) và \( B \).
2. **Tiếp tục cho \( x = 1, 2, ..., 15 \)** (bỏ qua \( x = 16 \)).
3. **Kiểm tra tính nguyên của \( M \)** cho từng giá trị.

Cuối cùng, ghi nhận giá trị của \( x \) mà làm cho \( M \) là số nguyên và lọc ra kết quả cho từng trường hợp.