Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn \(c^2 + b^2 = 2c^2\) và \(tan A + tan C = 2 tan B\) thì tam giác ABC đều

Để chứng minh tam giác \(ABC\) là tam giác đều theo dữ kiện \(c^2 + b^2 = 2c^2\) và \(tan A + tan C = 2 tan B\), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và công thức lượng giác.

### Bước 1: Phân tích điều kiện đầu tiên

Từ điều kiện \(c^2 + b^2 = 2c^2\), ta có:

\[
b^2 = 2c^2 - c^2 = c^2 \implies b^2 = c^2 \implies b = c
\]

### Bước 2: Phân tích điều kiện thứ hai

Xét điều kiện \(tan A + tan C = 2 tan B\). Ta cũng biết từ định lý lượng giác rằng:

\[
tan A = \frac{sin A}{cos A}, \quad tan B = \frac{sin B}{cos B}, \quad tan C = \frac{sin C}{cos C}
\]

Để áp dụng phương trình \(tan A + tan C = 2 tan B\), ta có thể đặt:

\[
tan A = tan C
\]

Trong tam giác \(ABC\) không có góc vuông, nếu \(tan A = tan C\), thì điều này chỉ có thể xảy ra khi \(A = C\).

### Bước 3: Kết luận

Khi \(A = C\) và từ \(b = c\), ta có:

- Các góc còn lại là:

\[
B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 2A
\]

Từ đó, ta suy ra rằng \(A = B = C\) trong tam giác \(ABC\), tức là tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

### Kết luận chung

Vì vậy, từ hai điều kiện \(c^2 + b^2 = 2c^2\) và \(tan A + tan C = 2 tan B\), chúng ta có thể khẳng định rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.