Để chứng minh các điểm đã cho trong tam giác ABC thỏa mãn các yêu cầu, ta sẽ đi từng phần một.

### Phần a) Chứng minh rằng tam giác ANE đều

Giả sử tam giác ABC có các góc sau:

- \( \angle ABC = 45^\circ \)
- \( \angle ACB = 15^\circ \)

Từ đó ta tính được góc A:

\[
\angle A = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ
\]

Khi đặt \( BA = x \), theo đề bài, ta có:

- \( AM = MD = BA = x \)

Vậy chúng ta có \( AM = MD = BA \). Ngoài ra, vì \( DE \) vuông góc với \( AC \) tại E, ta có \( \angle AEC = 90^\circ \).

### Tính các góc

Các góc tại điểm A:

1. \( \angle BAE = \angle CAB = 120^\circ \)
2. Vì \( \angle ABC = 45^\circ \) và \( \angle ABE = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \), ta có \( \angle EAB = 45^\circ \).
3. Tổng các góc tại A:
- \( \angle EAN = \angle BAE + \angle EAB = 120^\circ + 45^\circ = 165^\circ \)

Từ các thông tin trên, ta có \( \angle ANE = 60^\circ \) (do DE vuông góc với AC).

Vì vậy, ta có:
\[
\angle ANE = \angle AEN = 60^\circ
\]

Vậy \( AN = AE \) (do định nghĩa tam giác đều). Cuối cùng, \( \angle AEN = \angle ANE = 60^\circ \), và ba cạnh AN, AE, ED đều bằng nhau, tức là ANE là tam giác đều.

### Phần b) Chứng minh rằng EC = ED

Ta sử dụng việc cấu trúc của tam giác:

1. Từ điểm E, kẻ DE vuông góc với AC, tức là \( DE \perp AC \), và bởi vì \( \triangle ADE \) có \( \angle AED = 90^\circ \).
2. Khi \( AC \) nhận được \( \angle C = 15^\circ \) và biết rằng \( M \) nằm trên đường thẳng đối diện với AB kéo dài, suy ra \( D \) nằm trên tia này kéo dài.

Theo tính chất của tam giác và các góc đã biết:
- Ta có \( \angle EDC = \angle ABC = 45^\circ \).

Theo hình học Euclid và tính chất của các cạnh, với tam giác vuông EDC, ta có:

- \( EC = ED \) (nó tương ứng với việc D vuông góc với C).

Từ những thông tin đó, ta đã chứng minh được rằng \( EC = ED \) là đúng.

Vậy, kết hợp lại, ta đã chứng minh hai yêu cầu của bài toán: Tam giác ANE đều và EC = ED.