Để tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của \(2n - 1\) và \(9n + 1\) với \(n \in \mathbb{N}\), ta sẽ xét các giá trị khác nhau của \(n\) và phân tích biểu thức.

### Phân tích:

1. **Khi \(n = 1\)**:
- \(2n - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1\)
- \(9n + 1 = 9 \cdot 1 + 1 = 10\)
- UCLN(1, 10) = 1

2. **Khi \(n = 2\)**:
- \(2n - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 3\)
- \(9n + 1 = 9 \cdot 2 + 1 = 19\)
- UCLN(3, 19) = 1

3. **Khi \(n = 3\)**:
- \(2n - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5\)
- \(9n + 1 = 9 \cdot 3 + 1 = 28\)
- UCLN(5, 28) = 1

4. **Khi \(n = 4\)**:
- \(2n - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 7\)
- \(9n + 1 = 9 \cdot 4 + 1 = 37\)
- UCLN(7, 37) = 1

### Nhận xét:
- Từ các ví dụ trên, ta nhận thấy rằng vẫn chưa tìm được UCLN khác ngoài 1.
- Sẽ có thể chứng minh rằng \(2n - 1\) và \(9n + 1\) có UCLN là 1 với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

### Kết luận:
Vậy UCLN của \(2n - 1\) và \(9n + 1\) với \(n \in \mathbb{N}\) là **1**.