Để tìm số hạng thứ \(u_{10}\) của dãy số \((u_n)\) với điều kiện đã cho, ta bắt đầu từ định nghĩa:

1. \(u_1 = 1\).
2. Đối với \(n \geq 1\):
\[
u_{n+1} = \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}.
\]

Rearranging the second equation, ta có:
\[
u_{n+1}^2 = u_{n+2}.
\]
Do đó, ta có thể viết lại dãy:
\[
u_2 = \sqrt{u_3}, \quad u_3 = \sqrt{u_4}, \quad u_4 = \sqrt{u_5}, \ldots
\]

Bây giờ, thay thế từ \(u_1\):
- Từ \(u_1 = 1\), thay vào:
\[
u_2 = \sqrt{u_3} \implies u_3 = u_2^2.
\]
- Thay \(u_3\) cho \(u_4\):
\[
u_4 = \sqrt{u_5} \implies u_5 = u_4^2.
\]
- Chúng ta tiếp tục với quy luật chuẩn như vậy.

Dựa vào truyền thống này, ta tìm được:
- \(u_2 = \sqrt{u_3} \implies u_3 = u_2^2\)
- \(u_4 = u_3^2 = (u_2^2)^2 = u_2^4\)
- \(u_5 = u_4^2 = (u_2^4)^2 = u_2^8\)
- \(u_6 = u_5^2 = (u_2^8)^2 = u_2^{16}\)
- \(u_7 = u_6^2 = (u_2^{16})^2 = u_2^{32}\)
- \(u_8 = u_7^2 = (u_2^{32})^2 = u_2^{64}\)
- \(u_9 = u_8^2 = (u_2^{64})^2 = u_2^{128}\)
- \(u_{10} = u_9^2 = (u_2^{128})^2 = u_2^{256}\)

Dễ dàng nhận thấy, mỗi số hạng có thể được tính theo công thức:
\[
u_{n} = u_2^{2^{n-2}} \quad (n \geq 2).
\]

Vì \(u_1 = 1\), nếu ta chọn \(u_2 = 1\) (theo phong trào từ \(u_1\)), ta có:
\[
u_n = 1 \text{ với mọi } n.
\]

Cuối cùng:
\[
u_{10} = 1.
\]

Do đó, kết quả là:
\[
\boxed{1}.
\]