Để chứng minh \( \triangle BDF = \triangle EDC \), ta cần chứng minh ba cặp cạnh và góc tương ứng giữa hai tam giác này bằng nhau.

### a) Chứng minh \( \triangle BDF = \triangle EDC \):

1. **Cạnh BD và EC:**
- Trong hình, hai đoạn thẳng BD và EC đều là đường cao từ B và E đến cạnh AC (BD vuông góc AC và EC cũng vuông góc AC). Do đó, \( BD = EC \).

2. **Cạnh DF và DC:**
- Cạnh DF và DC đều là đường thẳng nằm giữa hai tam giác, cùng vuông góc với AC. Hay nói cách khác, DF = DC (cùng có độ dài).

3. **Cạnh BF và CE:**
- Theo giả thiết, ta có \( BF = CE \).

4. **Góc BDF và góc EDC:**
- \( \widehat{BDF} = \widehat{EDC} \) (cả hai đều là góc vuông).

**Kết luận:**
Từ 3 cặp cạnh và 1 cặp góc tương ứng, chúng ta có \( \triangle BDF \cong \triangle EDC \) theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC).

### b) Chứng minh \( \widehat{F} = \widehat{C} \):

Do \( \triangle BDF \cong \triangle EDC \) dẫn tới rằng các góc tương ứng cũng bằng nhau:

- Trong tam giác \( BDF \) và \( EDC \), chúng ta có:
\[
\widehat{F} = \widehat{C}
\]

### c) Chứng minh \( \triangle AEF = \triangle ABC \):

Dựa vào kết quả ở phần a), ta có:

- \( AE = AB \) (cạnh chung trong hai tam giác).
- \( EF = AC \) (cạnh tương ứng).
- \( \widehat{AFE} = \widehat{ABC} \) (góc tương ứng).

Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta suy ra rằng:

\[
\triangle AEF \cong \triangle ABC
\]

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được \( \triangle BDF = \triangle EDC \), \( \widehat{F} = \widehat{C} \), và \( \triangle AEF = \triangle ABC \).