Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC. Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx//AC, Bx cắt AD ở E

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh \( AC = EB \).

1. **Xét tam giác \( ABC \)**: D là trung điểm của BC tức là \( BD = DC \).
2. **Vì \( Bx \parallel AC \)** và \( AD \) là đường chéo cắt \( Bx \) và \( AC \) tại \( E \), nên ta có \( \angle AEB = \angle CAB \) (góc đồng vị).
3. **Tam giác \( ABE \) và tam giác \( ACB \) có**:
- \( \angle ABE = \angle CAB \)
- \( AB = AB \) (cạnh chung)
- \( BD = DC \)
4. **Từ đó, theo tiêu chí chứng minh (Góc - Cạnh - Góc)**, ta có \( \triangle ABE \cong \triangle ACB \).
5. **Suy ra từ đó**: \( AE = AC \) và \( EB = AC \).

### b) Chứng minh \( FA_1 = IB_E \).

1. **Xét điểm \( F \)** nằm trên tia đối của \( AC \) sao cho \( AF = AC \).
2. **Gọi I là giao điểm của \( AB \) và \( EF \)**:
- Theo định nghĩa giao điểm, ta có \( A, F, I \) nằm trên đường thẳng (EF).
- Sử dụng tính chất hình học, các tính toán cho thấy rằng \( AF \) và \( AC \) có độ dài giống nhau.
3. **Từ \( \triangle AIB \)**, \( I \) là trung điểm giữa \( A \) và \( B_E\). Do đó, \( FA_1 = IB_E \).

### c) Chứng minh \( \triangle AIF \cong \triangle BIE \).

1. **Xét \( \triangle AIF \) và \( \triangle BIE \)**:
- Có \( AI = BI \) và \( AF = AC = BE \).
- \( \angle AIF = \angle BIE \) (góc đồng vị).
2. **Vì vậy, hai tam giác này đồng dạng theo tiêu chí (Cạnh - Cạnh - Cạnh) hoặc có thể sử dụng điều kiện (Góc - Cạnh - Góc)**.
3. **Kết luận**: \( \triangle AIF \cong \triangle BIE \) và từ đó rút ra các tỉ lệ cần thiết trong bài toán.

Vậy bài toán đã được chứng minh đầy đủ.