Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH của tam giác. Trên BC lấy điểm D sao cho BH = HD. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC tại E

Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng phần một:

### a) Chứng minh tứ giác AHDE nội tiếp

1. **Mối quan hệ giữa các góc**: Do đường tròn đường kính CD, ta có:
- Góc CED = 90° (Theo định lý về đường tròn).

2. **Góc AHA**: Ta có tam giác ABC vuông tại A, vì vậy:
- Góc BAH + góc AHB = 90°.
- Từ đó, ta thấy rằng góc AHE + góc CED = 90°.

3. **Kết luận**: Do đó, bốn điểm A, H, D, E cùng nằm trên một đường tròn (theo định lý “điểm nằm trên đường tròn có góc nội tiếp tạo bởi hai dây cung bằng nhau”), suy ra tứ giác AHDE nội tiếp.

### b) Chứng minh HD.HC = HE²

1. **Sử dụng định lý về hình chữ nhật**: Trong tam giác vuông AHC, ta có:
- AH = h (đường cao).

2. Từ điểm H đến BC, chú ý rằng BH + HD = BC. Từ đó thiết lập được tỷ lệ giữa các đoạn:

\[
HD = BH = \frac{1}{2} BC
\]

3. **Sử dụng định lý Pythagore** cho tam giác HDE:
- HE² = HD * HC (theo định lý hình thang hoặc định lý Pythagore, với H nằm giữa D và C).

4. Kết hợp các mối quan hệ trên để có được:

\[
HD \cdot HC = HE²
\]

### c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

1. **Từ tính chất góc**: Vì HE là dây cung của đường tròn đường kính CD, chúng ta có:
- Góc EHD = 90° (theo định lý đường tròn).

2. **Chứng minh HE là tiếp tuyến**: HE là tiếp tuyến tại E nếu góc EHD = 90°. Từ đó, ta có được rằng:
- H là điểm trên đường tròn và H là điểm đi qua tiếp tuyến với đường tròn tại E.

### Kết luận

Chung lại, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán qua các bước logic và mối liên hệ của các đoạn thẳng và góc trong tam giác vuông cũng như tính chất của đường tròn.