Để giải bài toán này, ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( AC = EB \).

1. **Gọi các điểm**: Đặt \( D \) là trung điểm của \( BC \), tức là \( DB = DC \).
2. **Tri giác ABC**: Vẽ tia \( Bx \) sao cho \( Bx \parallel AC \).
3. **Thiết lập các tam giác**: Trong tam giác \( ABC \), lấy \( E \) là giao điểm của \( Bx \) với \( AD \).
4. **Sử dụng tính chất của tam giác**: Do \( Bx \parallel AC \), nên \( \triangle ACD \sim \triangle BED \) (theo tiêu chuẩn góc-góc).
5. **Suy ra tỉ lệ**: Từ đó, từ sự tương đồng ta có \( AC/EB = AD/DB \). Vì \( D \) là trung điểm \( BC \) nên \( AD = DB \), dẫn tới \( AC = EB \).

### b) Chứng minh \( FA = AC \) và \( \overline{F} \overline{A} \parallel \overline{E} \overline{B} \).

1. **Lấy \( F \) trên tia đối của \( AC \)**: Lấy điểm \( F \) sao cho \( AF = AC \).
2. **Xét tam giác**: Ta có tam giác \( AEF \) và \( AEB \)".
3. **Sử dụng tỉ lệ**: Do \( AEF \) và \( AEB \) liên quan với nhau theo chiều song song, ta có \( \angle AEF = \angle AEB \) và \( \angle EAF = \angle ABE \).
4. **Chứng minh tương đồng**: Từ đó suy ra tam giác \( \triangle AEF \sim \triangle AEB \).
5. **Suy ra \( FA = AC \) và \( \overline{F} \overline{A} \parallel \overline{E} \overline{B} \)**.

### c) Chứng minh \( \Delta AIF = \Delta BIE \).

1. **Chứng minh sự đồng dạng**: Tại điểm \( I \) có \( \overline{FA} \parallel \overline{EB} \) và \( AF = EB \) theo kết quả ở trên.
2. **Áp dụng tính chất của tam giác**: Suy ra các góc tương ứng:
- \( \angle AIF = \angle BIE \)
- \( \angle IAF = \angle IBE \)
3. **Kết luận về sự tương đồng**: Do đó, \( \Delta AIF \sim \Delta BIE \) và từ đó ta có \( \Delta AIF = \Delta BIE \).

Tóm lại, các bước chứng minh qua từng phần đã hoàn chỉnh và có tính logic chặt chẽ.