Để tính giá trị của biểu thức \(\sqrt{\frac{5 (38^2 - 17^2)}{8 (47^2 - 19^2)}}\), ta sẽ bắt đầu với việc tính các giá trị trong ngoặc.

### Bước 1: Tính các bình phương
- \(38^2 = 1444\)
- \(17^2 = 289\)
- \(47^2 = 2209\)
- \(19^2 = 361\)

### Bước 2: Tính hiệu của các bình phương
- \(38^2 - 17^2 = 1444 - 289 = 1155\)
- \(47^2 - 19^2 = 2209 - 361 = 1848\)

### Bước 3: Thay thế vào biểu thức
Ta có:
\[
\sqrt{\frac{5 \cdot 1155}{8 \cdot 1848}}
\]

### Bước 4: Tính các tích
- \(5 \cdot 1155 = 5775\)
- \(8 \cdot 1848 = 14784\)

### Bước 5: Viết lại biểu thức
Biểu thức bây giờ là:
\[
\sqrt{\frac{5775}{14784}}
\]

### Bước 6: Đơn giản hóa phân số
Tìm ước số chung lớn nhất (ƯSCN) của 5775 và 14784:
- \(5775 = 5 \times 3^1 \times 7^1 \times 11^1\)
- \(14784 = 2^4 \times 3^1 \times 7^1\)

ƯSCN chính là \(3^1 \times 7^1 = 21\).

Chia cả tử và mẫu cho 21:
- Tử: \(\frac{5775}{21} = 275\)
- Mẫu: \(\frac{14784}{21} = 704\)

### Bước 7: Viết lại biểu thức sau khi đơn giản hóa
Ta có:
\[
\sqrt{\frac{275}{704}}
\]

### Bước 8: Tính giá trị cuối cùng
Tính \(\sqrt{275} = 5 \sqrt{11}\) và \(\sqrt{704} = 8 \sqrt{11}\).
Vậy,
\[
\sqrt{\frac{275}{704}} = \frac{5\sqrt{11}}{8\sqrt{11}} = \frac{5}{8}
\]

### Kết luận
Giá trị của biểu thức là:
\[
\sqrt{\frac{5 (38^2 - 17^2)}{8 (47^2 - 19^2)}} = \frac{5}{8}
\]