Để chứng minh các kết luận trong bài toán, chúng ta bắt đầu với hình vẽ và các điều kiện đã cho.

**a. Chứng minh tam giác ABC = tam giác ADE**

Đầu tiên, ta có:
- \( AD = AB \) (Điều kiện cho điểm D)
- \( AE = AC \) (Điều kiện cho điểm E)

Từ đó, ta thấy rằng cả hai điểm D và E được xây dựng từ các cạnh của tam giác ABC và có độ dài bằng các cạnh tương ứng.

Để chứng minh tam giác ABC bằng tam giác ADE, chúng ta sẽ chứng minh là do hình chiếu:

- Gốc A là chung của cả hai tam giác.
- Hình chiếu của BC và DE dựa trên góc đối đỉnh cũng bằng nhau.

Vì AB = AD, AC = AE, nên \( \triangle ABC \cong \triangle ADE \) theo tiêu chuẩn SSS.

**b. Chứng minh tam giác ABM = tam giác ADN**

Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác và điều kiện về M, N:

- Chúng ta có \( BM = DN \).
- Theo quy tắc của tam giác, một cả cạnh và hai góc sẽ tương ứng với tam giác.

Do đó, \( \triangle ABM \) và \( \triangle ADN \) có cạnh \( AB \) và \( AD \) (trong đó AB = AD), góc A (chung) và hai cạnh còn lại (BM và DN) bằng nhau.

Vì vậy, \( \triangle ABM \cong \triangle ADN \) theo tiêu chuẩn SAS.

**c. Chứng minh M, A, N thẳng hàng**

Từ \( BM = DN \), chúng ta có thể nói rằng độ dài đoạn thẳng BM và đoạn thẳng DN bằng nhau. Do đó, điểm M nằm trên đoạn thẳng BC và điểm N nằm trên đoạn thẳng DE, cũng như vị trí của A là điểm chung của hai tam giác ABC và ADE.

Vì vậy, nếu M và N trên cùng một đoạn thẳng BC, chúng ta có thể kết luận rằng A phải nằm trên đường thẳng nối M và N. Do đó, M, A, N là thẳng hàng.

Tóm lại:
a) \( \triangle ABC = \triangle ADE \) (cùng chiều dài các cạnh tương ứng).
b) \( \triangle ABM = \triangle ADN \) (các cạnh và góc tương ứng).
c) M, A, N thẳng hàng (do BM = DN).

Chứng minh đã hoàn tất.