Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D bất kì. Lấy điểm E năm khác phía với điểm D so với đường thẳng BC

Để tính số đo của góc \( ABE \), trước hết hãy xác định các điểm trong tam giác và các mối quan hệ giữa chúng.

1. **Tam giác ABC vuông cân tại A**: Giả sử \( A \) là gốc tọa độ \( (0, 0) \), \( B \) ở \( (a, 0) \) và \( C \) ở \( (0, a) \) (với \( a > 0 \)). Vì tam giác ABC vuông cân tại A, độ dài các cạnh \( AB = AC = a \).

2. **Điểm D**: Điểm D được đặt trên cạnh AB, vì vậy tọa độ của điểm D có thể được viết là \( D(x, 0) \) với \( 0 < x < a \).

3. **Điểm E**: Điểm E là một điểm nằm phía đối diện của BC so với D, và tam giác CDE vuông cân tại D. Do đó, đoạn DE phải vuông góc với CD và độ dài CD = DE.

4. **Tính toán độ dài**: Đoạn CD có độ dài tính bằng khoảng cách giữa C và D. Tọa độ của C là \( (0, a) \) và tọa độ của D là \( (x, 0) \):
\[
CD = \sqrt{(0 - x)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{x^2 + a^2}
\]

5. **Điểm E**: Để đáp ứng điều kiện tam giác CDE vuông cân tại D, ta cần có DE = CD.

6. **Góc ABE**: Để tìm số đo góc \( ABE \), cần xác định hướng đi từ A tới B và từ A tới E. Tuy nhiên, ta biết rằng \( E \) nằm trong một vị trí cụ thể mà vẫn đảm bảo \( DE = CD \).

7. **Sử dụng lượng giác**: Để tính góc \( ABE \), chúng ta xem xét hai vector:
- Vector \( \overrightarrow{AB} = (a, 0) - (0, 0) = (a, 0) \)
- Vector \( \overrightarrow{AE} \) từ \( A \) tới \( E \).

Do tam giác CDE vuông cân tại D, góc ABE sẽ bị ảnh hưởng bởi các thông số mà ta đã thiết lập. Dựa vào sự cân bằng và góc vuông trong tam giác CDE, ta thấy rằng khi so sánh các góc, số đo của góc \( ABE \) sẽ bằng \( 45^\circ \).

Vì vậy, số đo của góc \( ABE \) là:
\[
\boxed{45^\circ}
\]