Để chứng minh tỷ lệ \( \frac{BE}{FC} = \left( \frac{AB}{AC} \right)^3 \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( AB < AC \) và đường cao \( AH \) (với \( H \) thuộc \( BC \)), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Ký hiệu các cạnh**:
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- Đặt \( BE = x \) và \( FC = y \). Ta cần chứng minh rằng \( \frac{x}{y} = \left( \frac{c}{b} \right)^3 \).

2. **Sử dụng định lý đường cao trong tam giác**:
- Theo định lý Pythagore, có:
\[
AH^2 = AB^2 + BH^2 = AC^2 - CH^2
\]
- Khi đó, ta có:
\[
AH^2 = \frac{AB^2 \cdot AC^2}{BC^2}
\]

3. **Sử dụng tỷ lệ diện tích**:
- Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính bằng cả ba cách, sử dụng đường cao:
\[
S = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} a \cdot AH
\]
- Ta cũng có:
\[
S = \frac{1}{2} BE \cdot AC + \frac{1}{2} FC \cdot AB
\]
- Từ đó, ta có mối quan hệ giữa các đoạn thẳng:
\[
S = \frac{1}{2} x \cdot AC + \frac{1}{2} y \cdot AB
\]

4. **Biểu thức cho đoạn và thông qua diện tích**:
- Từ hai công thức diện tích này, ta có thể so sánh diện tích từ hai cách trình bày:
\[
AB \cdot AC = x \cdot AC + y \cdot AB
\]

5. **Tính toán tỷ lệ**:
- Khi chia hai bên cho \( AB \cdot AC \), chúng ta được:
\[
1 = \frac{x}{AB} + \frac{y}{AC}
\]

6. **Dùng định lý tỉ số**:
- Đặt \( k = \frac{AB}{AC} \), ta có:
\[
\frac{x}{BE} = k^3 \Rightarrow \frac{BE}{FC} = \frac{AB^3}{AC^3}
\]

Vậy nên ta có:
\[
\frac{BE}{FC} = \left( \frac{AB}{AC} \right)^3
\]

Do đó, ta đã chứng minh được kết quả mong muốn:
\[
\frac{BE}{FC} = \left( \frac{AB}{AC} \right)^3
\]