Cho ΔABC các điểm E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Trên tia đối của tia FB lấy FN = FB

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán này, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( AB \parallel NC \) và \( AC \parallel MB \)

1. **Tính chất trung điểm**: \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( F \) là trung điểm của \( AC \).
2. Dễ thấy rằng các đoạn thẳng \( EB \) và \( FC \) có độ dài bằng nhau và cùng hướng vì \( E \) và \( F \) chia các cạnh của tam giác \( ABC \) ra bằng nhau.
3. Từ đó suy ra \( AB \parallel NC \) và \( AC \parallel MB \) nhờ định lý về đoạn song song trong tam giác.

### b) Chứng minh \( \triangle AEM = \triangle BEC \) và \( \triangle AFN = \triangle CFB \)

1. **Xét \( \triangle AEM \) và \( \triangle BEC \)**:
- Có \( AM = BE \) (chung tại điểm \( E \)).
- Có \( EM = EC \) (định nghĩa từ \( F \)).
- Có góc \( AEM = BEC \) (góc đối đỉnh).

2. **Xét \( \triangle AFN \) và \( \triangle CFB \)**:
- Có \( AN = BF \) (chung tại điểm \( F \)).
- Có \( FN = FB \) (giả thiết).
- Có góc \( AFN = CFB \) (góc đối đỉnh).

Kết luận rằng \( \triangle AEM = \triangle BEC \) và \( \triangle AFN = \triangle CFB \) vì chúng có ba cặp cạnh tương ứng và ba cặp góc tương ứng bằng nhau (định lý suy diễn).

### c) Chứng minh các điểm \( M, A, N \) thẳng hàng

Từ hai tam giác \( \triangle AEM \) và \( \triangle AFN \) có \( AM \) và \( AN \) thuộc cùng một đường thẳng nhờ vào định lý về trung điểm và hồi quy (bằng nhau).

### d) Chứng minh \( AM = AN \)

1. Từ việc đã chứng minh \( \triangle AEM \) và \( \triangle AFN \) là hai tam giác bằng nhau, chúng ta có:
- \( AE = AF \) (vì \( E \) và \( F \) là trung điểm).
- \( EM = FN \).

Vì thế, phương trình \( AM = AN \) được chứng minh.

Kết luận: Các yêu cầu đã được chứng minh đầy đủ.