Để rút gọn biểu thức \( A \), ta tiến hành từng bước như sau:

### Bước 1: Rút gọn từng phần trong biểu thức

1. **Phần đầu tiên**:
\[
\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 5} \left( 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} \right)
\]
Rút gọn phần \( 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} \):
\[
1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 1 + 4}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 1}
\]
Do đó, phần đầu tiên trở thành:
\[
\frac{2\sqrt{x} (\sqrt{x} + 5)}{\sqrt{x} + 5} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]

2. **Phần thứ hai**:
\[
\frac{7\sqrt{x} + 14}{x + 3\sqrt{x} + 2}
\]
Ta nhận thấy rằng \( 7\sqrt{x} + 14 = 7(\sqrt{x} + 2) \).

Đối với phần mẫu số,
\[
x + 3\sqrt{x} + 2 = (\sqrt{x})^2 + 3\sqrt{x} + 2 = (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)
\]

Vậy phần này trở thành:
\[
\frac{7(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{7}{\sqrt{x} + 1} \quad \text{(điều kiện: } \sqrt{x} + 2 \neq 0\text{)}
\]

### Bước 2: Ghép tổng các phần

Biểu thức \( A \) giờ đây có dạng:
\[
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{7}{\sqrt{x} + 1}
\]

Gộp chung mẫu:
\[
A = \frac{2\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 1}
\]

### Bước 3: Tìm điều kiện của \( x \)

Mình có điều kiện \( x \geq 0 \) và \( \sqrt{x} + 1 > 0 \) (luôn đúng trong miền đã chọn).

### Kết luận

1. **Rút gọn biểu thức**:
\[
A = \frac{2\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 1}
\]

2. **Tìm giá trị \( x \) để \( A \) là số nguyên**:

Đặt \( A = k \) với \( k \in \mathbb{Z} \):
\[
k(\sqrt{x} + 1) = 2\sqrt{x} + 7 \implies k\sqrt{x} + k = 2\sqrt{x} + 7 \implies (k - 2)\sqrt{x} = 7 - k
\]

Giải cho \( \sqrt{x} \):
\[
\sqrt{x} = \frac{7 - k}{k - 2}
\]
Để \( \sqrt{x} \) là không âm, \( \frac{7 - k}{k - 2} \geq 0 \) dẫn đến hai trường hợp:

1. \( 7 - k \geq 0 \) và \( k - 2 > 0 \) (giúp cho mẫu dương).
2. \( 7 - k \leq 0 \) và \( k - 2 < 0 \).

Giải từng trường hợp để tìm các giá trị cho \( k \), từ đó xác định các giá trị của \( x \).

### Các giá trị nguyên của \( k \):

Từ điều kiện trên, ta có thể liệt kê các giá trị nguyên cho \( k \) và từ đó tính ra giá trị \( x \) tương ứng.

---
**Kết luận**: Phương trình cho phép tìm ra các số nguyên \( k \), dẫn đến những giá trị tương ứng của \( x \).