Rút gọn biểu thức P

Để rút gọn biểu thức:

\[
P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + 2 \cdot \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}
\]

Chúng ta tiến hành từng phần một.

1. **Rút gọn phần thứ nhất**:
\[
\frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}
\]
Phần này không thể rút gọn thêm nữa.

2. **Rút gọn phần thứ hai**:
\[
- \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = - \left( \frac{2x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right) = - (2\sqrt{x} + 1)
\]
Vậy phần này trở thành:
\[
-2\sqrt{x} - 1
\]

3. **Rút gọn phần thứ ba**:
\[
2 \cdot \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}
\]
Ta nhận thấy \(x - 1\) và \(\sqrt{x} - 1\) có thể viết lại dưới dạng:
\[
x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)
\]
Do đó:
\[
\frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1
\]
Vậy phần này trở thành:
\[
2(\sqrt{x} + 1) = 2\sqrt{x} + 2
\]

4. **Kết hợp lại**:
Giờ ta thay thế các phần đã rút gọn vào biểu thức \(P\):
\[
P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - (2\sqrt{x} + 1) + (2\sqrt{x} + 2)
\]
Tương đương với:
\[
P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + 1
\]

Cuối cùng, ta có biểu thức đã rút gọn:
\[
P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + 1
\]
Nếu cần thêm bước rút gọn hơn nữa, ta có thể xem xét việc cộng các phần lại với nhau, nhưng như vậy đã là biểu thức đơn giản hơn về mặt cấu trúc.