Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh hai phần của bài toán này.

### a) Chứng minh AMND là hình bình hành

Gọi \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\), và \(D(x_4, y_4)\) là tọa độ của các đỉnh của hình bình hành \(ABCD\). Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\), ta có:

\[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
\]
\[
N\left(\frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2}\right)
\]

Để chứng minh \(AMND\) là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối của nó bằng nhau, tức là \(AM \parallel ND\) và \(AN \parallel MD\).

**Chứng minh \(AM \parallel ND\):**
- Vector \( \overrightarrow{AM} = \left(\frac{x_1 + x_2}{2} - x_1, \frac{y_1 + y_2}{2} - y_1\right) = \left(\frac{x_2 - x_1}{2}, \frac{y_2 - y_1}{2}\right) \)
- Vector \( \overrightarrow{ND} = \left(x_4 - \frac{x_3 + x_4}{2}, y_4 - \frac{y_3 + y_4}{2}\right) = \left(\frac{x_4 - x_3}{2}, \frac{y_4 - y_3}{2}\right) \)

Vì \(AB \parallel CD\) (đặc tính của hình bình hành), ta có \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_4 - y_3}{x_4 - x_3}\). Suy ra \(AM \parallel ND\).

**Chứng minh \(AN \parallel MD\):**
- Vector \( \overrightarrow{AN} = \left(\frac{x_3 + x_4}{2} - x_1, \frac{y_3 + y_4}{2} - y_1\right) \)
- Vector \( \overrightarrow{MD} = \left(x_4 - \frac{x_1 + x_2}{2}, y_4 - \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)

Tương tự như trên, chúng ta có thể chứng minh rằng \(AN \parallel MD\).

Vì hai cặp cạnh đối của hình \(AMND\) song song và bằng nhau, do đó \(AMND\) là hình bình hành.

### b) Chứng minh AMCN là hình bình hành

Chúng ta sử dụng cách tương tự để chứng minh rằng \(AMCN\) cũng là hình bình hành.

**Chứng minh \(AM \parallel CN\):**
- Vector \( \overrightarrow{AM} = \left(\frac{x_2 - x_1}{2}, \frac{y_2 - y_1}{2}\right) \)
- Vector \( \overrightarrow{CN} = \left(\frac{x_3 + x_4}{2} - x_3, \frac{y_3 + y_4}{2} - y_3\right) = \left(\frac{x_4 - x_3}{2}, \frac{y_4 - y_3}{2}\right) \)

Vì \(AB \parallel CD\), do đó \(AM \parallel CN\).

**Chứng minh \(AC \parallel MN\):**
- Vector \( \overrightarrow{AC} = \left(x_3 - x_1, y_3 - y_1\right) \)
- Vector \( \overrightarrow{MN} = \left(\frac{x_3 + x_4}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{x_3 + x_4 - x_1 - x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4 - y_1 - y_2}{2}\right) \)

Vì \(AC\) và \(MN\) có cùng tỷ lệ và cùng chiều (do thuộc hai đỉnh đối diện của hình bình hành), suy ra \(AC \parallel MN\).

Vì hai cặp cạnh đối của hình \(AMCN\) song song và bằng nhau, do đó \(AMCN\) là hình bình hành.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng cả hai hình \(AMND\) và \(AMCN\) đều là hình bình hành.