Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( S = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{1998} \) chia hết cho 12.

Đầu tiên, \( S \) có dạng:

\[
S = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{1998} = 3(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{1997}).
\]

Để tính tổng \( 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{1997} \), chúng ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

\[
1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{n} = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r}
\]

Trong đó \( a = 1 \), \( r = 3 \), và \( n = 1997 \):

\[
1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{1997} = \frac{1(1 - 3^{1998})}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{1998}}{-2} = \frac{3^{1998} - 1}{2}.
\]

Do đó, tổng \( S \) được tính là:

\[
S = 3 \cdot \frac{3^{1998} - 1}{2} = \frac{3^{1999} - 3}{2}.
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra tính chia hết của \( S \) cho 12.

Khi nhìn vào các thuật toán kiểm tra chia hết, chúng ta có \( S \) được viết lại:

\[
S = \frac{3^{1999} - 3}{2}.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra \( 3^{1999} - 3 \) chia cho 24 (bởi vì để \( S \) chia cho 12, thì \( S \) cần phải từ 3 chia cho 12).

Chúng ta có thể xét \( 3^{1999} \) theo modulo 24.

- \( 3^1 \equiv 3 \mod 24 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \mod 24 \)
- \( 3^3 \equiv 27 \equiv 3 \mod 24 \)
- \( 3^4 \equiv 81 \equiv 9 \mod 24 \)

Từ đó, chúng ta có chu kỳ 2 theo modulo 24:

- Nếu \( n \) chẵn, thì \( 3^n \equiv 9 \mod 24 \).
- Nếu \( n \) lẻ, thì \( 3^n \equiv 3 \mod 24 \).

Vì 1999 là số lẻ, ta có:

\[
3^{1999} \equiv 3 \mod 24.
\]

Vậy,

\[
3^{1999} - 3 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \mod 24.
\]

Điều này cho thấy \( 3^{1999} - 3 \) chia hết cho 24, do đó:

\[
S = \frac{3^{1999} - 3}{2} ~ (2 \text{ chia cho } 12) \Rightarrow S \equiv \frac{0}{2} \equiv 0 \mod 12.
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( S \) chia hết cho 12:

\[
\boxed{S \text{ chia hết cho } 12}.
\]