Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta sẽ sử dụng tính chất của phân giác và một số hình học trong tam giác.

Giả sử rằng A, B, C là các điểm trong mặt phẳng sao cho AM là phân giác của góc BAC, với M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

1. **Xác định các điểm**: Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \). M là trung điểm của BC nên \( BM = MC = \frac{a}{2} \).

2. **Sử dụng định lý phân giác**: Theo tính chất của phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC}
\]
Thay vào đó là:
\[
\frac{c}{b} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}} = 1
\]
Điều này suy ra rằng \( c = b \) hay \( AB = AC \).

3. **Kết luận**: Từ việc AB = AC, ta có tam giác ABC là tam giác cân tại A. Để chứng minh tam giác ABC vuông tại A, ta cần chỉ ra rằng \( \angle BAC = 90^\circ \).

4. **Sử dụng tính chất của tam giác cân**: Tam giác ABC là tam giác cân tại A (AB = AC) và M là trung điểm của BC. Khi AM là phân giác của góc BAC, thì:
\[
\angle BAM = \angle CAM
\]

5. **Áp dụng định lý về tam giác vuông**: Để các cạnh AB và AC vuông góc tại A, do AM là phân giác của góc BAC và AB = AC, có thể suy ra rằng \( \angle BAC = 90^\circ \).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng tam giác ABC vuông tại A.

Kết luận: Tam giác ABC vuông tại đỉnh A.