Để tính giá trị của biểu thức \( S = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{1}{(b+c)^2} + \frac{1}{(c+a)^2} + \frac{1}{(a+b)^2} \) khi \( abc = 2 \) và \( a, b, c > 0 \), trước tiên ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc bình phương rồi áp dụng điều kiện \( abc = 2 \).

1. **Bước 1**: Tìm biểu thức \( a^2 + b^2 + c^2 \).
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, có:
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2,
\]
suy ra
\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3}.
\]

2. **Bước 2**: Sử dụng \( abc = 2 \) để tạo ra các biểu thức dạng \( (b+c)^2, (c+a)^2, (a+b)^2 \):
\[
b + c = b + c = \frac{(b + c)^2}{4} \geq \sqrt[3]{abc}^2 = \sqrt[3]{4}^2 = 2^{4/3}.
\]

3. **Bước 3**: Tính lại giá trị \( S \). Với các phần tử trong biểu thức có dạng \( a+b, b+c, c+a \)... và áp dụng vào điều kiện.
Dễ dàng nhận thấy các phần bình phương cũng sẽ đạt được các giá trị tương tự.

Với các giá trị cụ thể cho \( a, b, c \), chúng ta có thể tìm được số cụ thể để tính giá trị của biểu thức \( S \).

**Kết luận**: Với các phép tính này, bạn sẽ nhận được một giá trị cho \( S \), nhưng để có kết quả số cụ thể ta cần phải thử với \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện đã đưa.