Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( 13p + 1 \) là số chính phương, ta bắt đầu với biểu thức:
\[
13p + 1 = n^2
\]
với \( n \) là một số nguyên.

Khi đó, ta có thể sắp xếp lại như sau:
\[
13p = n^2 - 1
\]
\[
13p = (n - 1)(n + 1)
\]

Vì \( p \) là số nguyên tố, nên \( 13p \) có thể được phân tích thành tích của hai số nguyên theo cách sau:

- Một trường hợp là \( n - 1 = 1 \) và \( n + 1 = 13p \). Từ đây, ta có:
\[
n - 1 = 1 \implies n = 2 \implies n + 1 = 3
\]
Điều này không xảy ra.

- Một trường hợp khác, nếu \( n - 1 = 13 \) và \( n + 1 = p \):
\[
n - 1 = 13 \implies n = 14 \implies n + 1 = 15 \implies p = 15
\]
Nhưng 15 không phải là số nguyên tố.

- Thử các giá trị khác cho \( n \):
Giả sử \( n - 1 = 13p \) và \( n + 1 = 1 \), thì không hợp lý do độ lớn.

Tiến hành thử nghiệm các giá trị cụ thể cho \( p \):
- Thử \( p = 2 \):
\[
13(2) + 1 = 27 \quad (27 \text{ không phải là số chính phương})
\]

- Thử \( p = 3 \):
\[
13(3) + 1 = 40 \quad (40 \text{ không phải là số chính phương})
\]

- Thử \( p = 5 \):
\[
13(5) + 1 = 66 \quad (66 \text{ không phải là số chính phương})
\]

- Thử \( p = 7 \):
\[
13(7) + 1 = 92 \quad (92 \text{ không phải là số chính phương})
\]

- Thử \( p = 11 \):
\[
13(11) + 1 = 144 \quad (144 = 12^2, \text{ là số chính phương})
\]

Như vậy, số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện \( 13p + 1 \) là số chính phương là \( p = 11 \).