Để chứng minh các điểm \( A, G, H \) và \( E, I, F \) thẳng hàng trong tam giác \( ABC \) với hai trung tuyến \( BM \) và \( CN \) cắt nhau tại \( G \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của trung tuyến và một số định lý liên quan.

### a) Chứng minh \( A, G, H \) thẳng hàng:

1. **Kí hiệu**: Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \).
2. **Tính chất trung tuyến**: Các trung tuyến trong một tam giác chia tam giác đó thành các tam giác nhỏ hơn có diện tích bằng nhau.
3. **Ghi chú**:
- \( G \) là giao điểm của \( BM \) và \( CN \), tức là nó nằm trên trung tuyến.
- \( E \) là trung điểm của \( GB \).
- \( H \) là trung điểm của \( BC \).
4. **Sử dụng định lý**: Theo định lý về điểm chia tỷ lệ, \( G \) chia \( BM \) theo tỷ lệ \( 2:1 \).
5. **Tính toán**:
- Do \( E \) là trung điểm của \( GB \) nên \( E \) nằm trên đoạn thẳng \( AG \).
- \( H \) là trung điểm của \( BC \) do đó \( A, G, H \) cùng thẳng hàng theo tính chất trung điểm.

### b) Chứng minh \( E, I, F \) thẳng hàng:

1. **Kí hiệu**: Gọi \( I \) là trung điểm của \( GH \).
2. **Tính chất trung điểm**:
- Bởi vì \( E \) là trung điểm của \( GB \) và \( F \) là trung điểm của \( GC \), ta có \( E, I, F \) cũng thẳng hàng.
3. **Sử dụng định lý**: Các trung điểm của các đoạn thẳng (trong trường hợp này là \( E \) và \( F \)) nằm trên một đường thẳng với một điểm trung bình \( I \) sẽ tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu.
4. **Kết luận**: Do đó, \( E, I, F \) thẳng hàng theo tính chất các trung điểm.

Vậy đã chứng minh được rằng \( A, G, H \) và \( E, I, F \) đều thẳng hàng.