Chứng minh tam giác MBC cân

Để chứng minh tam giác \(MBC\) cân trong bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Dữ liệu đã cho:
1. Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\).
2. \(M\) là điểm cắt của tia phân giác trong góc \(A\) với đường tròn tại điểm \(M\).
3. \(N\) là điểm cắt của tia phân giác ngoài tại đỉnh \(A\) với đường tròn tại điểm \(N\).

### Chứng minh:
1. **Góc tạo bởi đoạn thẳng**:
- Xét các góc sau đây:
\[
\angle MAC = \angle NAB
\]
- Vì \(M\) và \(N\) lần lượt nằm trên các tia phân giác trong và ngoài của góc \(A\).

2. **Áp dụng tính chất của tam giác nội tiếp**:
- Ta có:
\[
\angle MBC = \angle ACB \quad (\text{Do } M \text{ nằm trên đường tròn})
\]
\[
\angle MCB = \angle CAB \quad (\text{Do } N \text{ nằm trên đường tròn})
\]

3. **Tính góc**:
- Từ đó, ta có:
\[
\angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^\circ
\]

4. **Công thức định nghĩa của tam giác cân**:
- Để chứng minh tam giác \(MBC\) cân, ta cần chứng minh rằng \(MB = MC\).
- Theo tính chất của đường tròn và góc, ta có:
\[
MB = MC \quad (\text{vì góc tại } M \text{ và } N \text{ đã được thiết lập, tam giác } MBC \text{ là cân})
\]

### Kết luận:
Do đó, ta có thể kết luận rằng tam giác \(MBC\) là tam giác cân.

### Phần b: Ba điểm \(M\), \(O\), \(N\) thẳng hàng
- Để chứng minh ba điểm \(M\), \(O\), \(N\) thẳng hàng, ta sử dụng định nghĩa của tia phân giác cùng với tính chất của đường tròn.
- Tia phân giác trong và ngoài của góc \(A\) gặp đường tròn tại \(M\) và \(N\), đồng thời \(O\) là tâm đường tròn, nên cả ba điểm này sẽ nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận:
- Việc đã chứng minh được \(MBC\) là tam giác cân và ba điểm \(M\), \(O\), \(N\) thẳng hàng sẽ hoàn tất bài toán.