Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \( P \), chúng ta cần xác định các giá trị của \( x \) mà tại đó biểu thức không bị vô nghĩa.

Biểu thức \( P \) được cho như sau:

\[
P = \frac{1}{x+5} + \frac{2}{x-5} - \frac{2x+10}{(x+5)(x-5)}
\]

1. Xác định các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0:

- Từ phần tử \( \frac{1}{x+5} \), mẫu số \( x+5 = 0 \) khi \( x = -5 \).
- Từ phần tử \( \frac{2}{x-5} \), mẫu số \( x-5 = 0 \) khi \( x = 5 \).
- Từ phần tử \( \frac{2x+10}{(x+5)(x-5)} \), biểu thức trong mẫu số bằng 0 cũng khi \( x = -5 \) hoặc \( x = 5 \).

2. Kết luận:

Biểu thức \( P \) xác định với \( x \) khác \( -5 \) và \( 5 \). Vậy điều kiện xác định của \( P \) là:

\[
x \neq -5 \quad \text{và} \quad x \neq 5.
\]

### Rút gọn biểu thức \( P \)

Để rút gọn biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{1}{x+5} + \frac{2}{x-5} - \frac{2x+10}{(x+5)(x-5)}
\]

Biến đổi các thành phần:

1. Chúng ta sẽ đưa các phần tử về cùng mẫu chung, mẫu chung của các phần tử là \( (x+5)(x-5) \):

\[
P = \frac{(x-5) + 2(x+5) - (2x+10)}{(x+5)(x-5)}
\]

2. Tính tổng biểu thức trong tử số:

\[
(x-5) + 2(x+5) - (2x+10) = x - 5 + 2x + 10 - 2x - 10 = x - 5
\]

Do đó:

\[
P = \frac{x - 5}{(x+5)(x-5)}
\]

3. Rút gọn:

Khi \( x \neq 5 \):

\[
P = \frac{1}{x+5}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
P = \frac{1}{x+5} \quad \text{với} \quad x \neq -5 \quad \text{và} \quad x \neq 5.
\]