Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy với OA = OB. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh OM vuông góc với AB

Để chứng minh rằng \(OM\) vuông góc với \(AB\), chúng ta sẽ sử dụng tọa độ.

Giả sử:
- Điểm \(A\) trên tia \(Ox\) có tọa độ \(A(a, 0)\)
- Điểm \(B\) trên tia \(Oy\) có tọa độ \(B(0, a)\) (vì \(OA = OB = a\))

M là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), do đó tọa độ của \(M\) sẽ là:

\[
M\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)
\]

Bây giờ, chúng ta tính vector \(AB\) và vector \(OM\).

- Vector \(AB\) được tính như sau:
\[
AB = B - A = (0, a) - (a, 0) = (-a, a)
\]

- Vector \(OM\) được tính như sau:
\[
OM = M - O = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)
\]

Chúng ta sẽ kiểm tra điều kiện vuông góc giữa hai vector này bằng cách tính tích vô hướng (dot product) của chúng.

Tích vô hướng \(OM \cdot AB\) được tính như sau:

\[
OM \cdot AB = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \cdot (-a, a) = \frac{a}{2} \cdot (-a) + \frac{a}{2} \cdot a = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = 0
\]

Vì tích vô hướng \(OM \cdot AB = 0\), điều này chứng tỏ rằng \(OM\) vuông góc với \(AB\).

Vậy ta đã chứng minh thành công rằng \(OM\) vuông góc với \(AB\).