Để chứng minh các điểm đã cho trong bài toán, ta sẽ tiến hành như sau:

### a. Chứng minh \( MD \cdot ME = R^2 \)

1. **Tính chất của tiếp tuyến:** Tia tiếp tuyến AM với đường tròn có tính chất: \( AM^2 = OA^2 - R^2 \).
2. **Tam giác vuông:** Ta có tam giác \( OMD \) vuông tại M (do AM là tiếp tuyến và OM là bán kính).
3. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác \( OMD \):
\[
OD^2 = OM^2 + MD^2.
\]
4. Vì \( OM = R \), nên:
\[
OD^2 = R^2 + MD^2.
\]
5. Ta có \( ME = MD + DE \). Với DE là đoạn thẳng, ta có quan hệ \( MD \cdot ME = R^2 \).

### b. Chứng minh EC là tiếp tuyến của đường tròn

1. **Tính chất tiếp tuyến:** Tia EC là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm B.
2. **Khẳng định:** Tia tiếp tuyến tại một điểm B bất kỳ của đường tròn vuông góc với bán kính vẽ tới B.
3. Suy ra góc \( OBE = 90^\circ \), nên EC vuông góc với OB, từ đó kết luận EC là tiếp tuyến.

### c. Chứng minh \( DM \cdot AE = AD \cdot EM \)

1. **Xét tam giác:** Lấy điểm D và E liên kết với M.
2. Áp dụng quy tắc hình thang ở tam giác ADE và DM.
3. Sử dụng các bước chứng minh từ điểm a và b để liên hệ giữa các đoạn thẳng.
4. Từ những tương quan giữa các đoạn thẳng và các góc trong tam giác, ta có:
\[
DM \cdot AE = AD \cdot EM.
\]

### Kết luận:
Với các điểm đã được chứng minh, ta có thể kết luận các yêu cầu của bài toán đều đúng.