Để giải bài toán của bạn, mình sẽ bắt đầu với từng phần một.

### Phần b)

Phương trình:

\[ x^2 + 2x - y^2 + 6y = 9 \]

Để chuyển đổi phương trình này thành dạng chuẩn hơn, chúng ta có thể nhóm các hạng tử với \(x\) và \(y\) lại với nhau.

Rearranging gives us:

\[ x^2 + 2x - y^2 + 6y - 9 = 0 \]

Giờ, chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho \(x\) và \(y\).

1. Hoàn thành bình phương cho \(x\):

\[ x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 \]

2. Hoàn thành bình phương cho \(y\):

\[ -y^2 + 6y = -(y^2 - 6y) = -((y - 3)^2 - 9) = -(y - 3)^2 + 9 \]

Thay vào phương trình, ta có:

\[(x + 1)^2 - 1 - (y - 3)^2 + 9 - 9 = 0\]

Rút gọn lại:

\[(x + 1)^2 - (y - 3)^2 - 1 = 0\]

Hay:

\[(x + 1)^2 - (y - 3)^2 = 1\]

Đây là phương trình của một hyperbola.

### Phần c)

Phương trình:

\[ x^2y + 3x^2 + y + 3 = 0 \]

Chúng ta sẽ sắp xếp lại hạng tử:

\[ x^2y + y + 3x^2 + 3 = 0 \]

Nhóm \(y\) lại:

\[ y(x^2 + 1) + 3(x^2 + 1) = 0 \]

Rút gọn:

\((x^2 + 1)(y + 3) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

1. \(x^2 + 1 = 0\): Không có nghiệm thực, vì \(x^2 + 1\) luôn dương.
2. \(y + 3 = 0\): Điều này dẫn đến:

\[ y = -3 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \(y = -3\) dành cho mọi giá trị của \(x\).

### Kết luận:

- Phần b) là một hyperbola: \((x + 1)^2 - (y - 3)^2 = 1\).
- Phần c) có nghiệm \(y = -3\) cho mọi \(x\).