Cho tam giác ABC cân tại a gọi a M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC trên tia BM vẽ điểm K sao cho n là trung điểm của bk. Chứng minh rằng

Để chứng minh những điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và một số định lý hình học cơ bản. Ta đang xét tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) với các điểm \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AC\), \(BC\), và điểm \(K\) sao cho \(N\) là trung điểm của đoạn \(BK\).

### a) Chứng minh tứ giác \(ABCK\) là hình bình hành

Đầu tiên, ta xét \(ABCK\):
- Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).
- Theo giả thiết, \(N\) là trung điểm của \(BK\), nghĩa là \(BN = NK\).

Do đó, ta có:
- \(AM = MB\)
- \(AN = NC\)
- \(BN = NK\)

Bởi vậy, chúng ta có:
- \(AB = AC\) (tam giác cân)
- \(MB = MK\) vì \(M\) và \(N\) cùng nằm trên đường trung bình của tam giác.

Từ đó, có thể suy ra:
- \(AM + MK = MB + AK\) (các đoạn liên tiếp có độ dài bằng nhau)

=> \(ABCK\) là hình bình hành vì: \(AB = CK\) và \(AK = BC\).

### b) Chứng minh tứ giác \(AMPN\) là hình thoi khi \(AP \perp BC\)

Muốn chứng minh tứ giác \(AMPN\) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng \(AM = AN\) và hai đường chéo \(MP\) và \(AN\) vuông góc, tức là \(AP \perp BC\).

1. **Xét tính đối xứng trong tam giác cân**:
- \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AC\).
- Trong tam giác cân, các đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh xuống đáy tại trung điểm là bằng nhau. Vì vậy, \(AM = AN\).

2. **Chứng minh \(AP \perp BC\)**:
- Vì \(A\) là đỉnh của tam giác cân và \(BC\) là đáy, nên đường trung tuyến \(AP\) từ \(A\) vuông góc với \(BC\).

=> Từ hai điều trên, ta suy ra tứ giác \(AMPN\) là hình thoi.

### c) Chứng minh \(BH \perp AK\)

Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BM\) và \(AK\).

1. **Xét tứ giác \(ABCK\)** và \(AP \perp BC\): Theo tính chất của hình bình hành, ta có \(AB \parallel CK\) và \(BC \parallel AK\).

2. **Nói về góc**:
- Góc \(BHA\) vuông từ \(AP\) và góc theo chiều hiểu là bán kính của góc \(AK\).
- Suy ra \(BH\) vuông góc với \(AK\) vì các cạnh chắn nhau do sự kiện hình bình hành trong tứ giác.

=> Vậy \(BH \perp AK\).

Kết luận: Ta đã chứng minh các yêu cầu là:
- a) Tứ giác \(ABCK\) là hình bình hành.
- b) Tứ giác \(AMPN\) là hình thoi khi \(AP \perp BC\).
- c) Tia \(BH\) vuông góc với đường thẳng \(AK\).

**Phần vẽ hình**: Trong phần này, vui lòng tự vẽ theo các thông tin trên cơ sở đã được phân tích và chứng minh.