Câu 20: Rút gọn biểu thức

Biểu thức

Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức.

1. Phần 1:



\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2 - 1}

2. Phần 2: (đã đơn giản rồi, không thay đổi gì thêm)


3. Phần 3: Phần này không thể rút gọn thêm nữa, giữ nguyên.



Vậy biểu thức sẽ trở thành:

P = \frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{4x^3}{x^4 + 1}


---

Câu 21: Tìm các số thỏa mãn

\frac{7}{2x^2 + 5x - 3} = \frac{a}{2x - 1} - \frac{b}{x + 3}

Bước 1: Phân tích mẫu số của biểu thức bên trái để có thể phân tích thành các phân thức hữu tỷ với mẫu số là và .

Biểu thức có thể phân tích như sau:

2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)

Vậy ta có:

\frac{7}{(2x-1)(x+3)} = \frac{a}{2x - 1} - \frac{b}{x + 3}

Bước 2: Quy đồng mẫu số cho vế phải:

\frac{a}{2x-1} - \frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3) - b(2x-1)}{(2x-1)(x+3)}

Bước 3: Đặt các biểu thức trên cùng mẫu số bằng nhau:

7 = a(x+3) - b(2x-1)

7 = a(x+3) - b(2x-1) = a x + 3a - 2b x + b

7 = (a - 2b)x + (3a + b)

a - 2b = 0

3a + b = 7 ]

Bước 4: Giải hệ phương trình:

Từ , ta có .

Thay vào phương trình thứ hai: , tức là:


6b + b = 7 \quad \Rightarrow \quad 7b = 7 \quad \Rightarrow \quad b = 1

Vậy và .


---

Câu 22: Tính nhanh

P = \frac{1}{x^2 + x} + \frac{1}{x^2 + 3x + 2} + \frac{1}{x^2 + 5x + 6} + \frac{1}{x^2 + 7x + 12} + \frac{1}{x^2 + 9x + 20}

Ta nhận thấy rằng mỗi mẫu số trong các phân thức có thể phân tích được.

1.


2.


3.


4.


5.



Do đó, trở thành:

P = \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+5)}

Ta nhận thấy đây là một chuỗi các phân thức liên tiếp nhau, do đó có thể áp dụng phương pháp rút gọn theo chuỗi.

Chúng ta có thể viết lại như sau:

P = \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) + \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) + \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} \right) + \left( \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} \right) + \left( \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+5} \right)

Sau khi rút gọn, ta có:

P = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5}

Vậy, kết quả là:

P = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5}