Biết x>0 tìm gtnn của biểu thức A=x³+1/x³-x²-1/x²-2(x+1/x)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^3 + \frac{1}{x^3} - x^2 - \frac{1}{x^2} - 2\left(x + \frac{1}{x}\right) \) với \( x > 0 \), chúng ta có thể đặt \( t = x + \frac{1}{x} \). Khi đó, từ bất đẳng thức AM-GM, ta biết rằng \( t \geq 2 \) với \( t = 2 \) khi \( x = 1 \).

Ta có:

\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2
\]

\[
x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t
\]

Thay vào biểu thức \( A \):

\[
A = (t^3 - 3t) - (t^2 - 2) - 2t
\]

Rút gọn để tìm biểu thức theo \( t \):

\[
A = t^3 - 3t - t^2 + 2 - 2t
\]
\[
A = t^3 - t^2 - 5t + 2
\]

Giờ đây, để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), chúng ta cần tính giá trị tại \( t \geq 2 \). Ta sẽ tính đạo hàm để tìm cực trị:

\[
A' = 3t^2 - 2t - 5
\]

Giải phương trình \( A' = 0 \):

\[
3t^2 - 2t - 5 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{2 \pm 8}{6}
\]

Ta có 2 nghiệm:

\[
t_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \quad \text{(không hợp lệ vì } t \geq 2\text{)}
\]
\[
t_2 = \frac{-6}{6} = -1 \quad \text{(không hợp lệ)}
\]

Do đó, chúng ta chỉ cần đánh giá giá trị của \( A \) tại biên \( t = 2 \):

\[
A(2) = 2^3 - 2^2 - 5 \cdot 2 + 2 = 8 - 4 - 10 + 2 = -4
\]

Vì \( A(t) \) là một đa thức bậc 3, trong khoảng \( t \geq 2 \), \( A(t) \) sẽ tăng lên (do hệ số của \( t^3 \) dương). Do đó, \( A(2) = -4 \) là giá trị nhỏ nhất.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{-4}
\]