Cho phương trình

Để giải bài toán này, chúng ta có phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 2x + m - 1 = 0
\]

Gọi hai nghiệm của phương trình là \(x_1\) và \(x_2\). Theo định lý Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2 \quad (1)
\]
\[
x_1 x_2 = m - 1 \quad (2)
\]

Chúng ta cần tìm \(M\) để thỏa mãn điều kiện:

\[
x_1^2 + x_2^2 - 3x_1 x_2 = 2m^2 + m - 3
\]

Ta biết rằng:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]

Thay thế các giá trị từ (1) và (2):

\[
x_1^2 + x_2^2 = (2)^2 - 2(m - 1) = 4 - 2m + 2 = 6 - 2m
\]

Giờ ta sẽ thay vào điều kiện đã cho:

\[
6 - 2m - 3(m - 1) = 2m^2 + m - 3
\]

Sắp xếp lại:

\[
6 - 2m - 3m + 3 = 2m^2 + m - 3
\]
\[
9 - 5m = 2m^2 + m - 3
\]

Chuyển tất cả sang một vế:

\[
0 = 2m^2 + 6m - 12
\]

Chia cả phương trình cho 2:

\[
0 = m^2 + 3m - 6
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
m = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}
\]

Vậy, các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn điều kiện là:

\[
m = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}
\]