Để giải bài toán này, ta cần tìm số học sinh khối 5 \( N \) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. \( N \) có ba chữ số và chữ số hàng trăm là 2 ⇒ \( N = 200 + x \) với \( x \) là số có hai chữ số (từ 0 đến 99).
2. \( N \) khi xếp thành 10 hàng thì dư 5 học sinh ⇒ \( N \equiv 5 \mod 10 \).
3. \( N \) khi xếp thành 9 hàng thì không dư bạn nào ⇒ \( N \equiv 0 \mod 9 \).

Từ điều kiện 1, ta có:
\[
N = 200 + x
\]

Từ điều kiện 2, ta có:
\[
200 + x \equiv 5 \mod 10 \implies x \equiv 5 \mod 10
\]
Nghĩa là \( x \) có thể là 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, hoặc 95.

Từ điều kiện 3, ta có:
\[
200 + x \equiv 0 \mod 9
\]
Ta tính \( 200 \mod 9 \):
\[
200 \div 9 = 22 \quad (22 \times 9 = 198) \quad \text{vậy } 200 - 198 = 2 \implies 200 \equiv 2 \mod 9
\]
Do đó, chúng ta có:
\[
2 + x \equiv 0 \mod 9 \implies x \equiv -2 \mod 9 \implies x \equiv 7 \mod 9
\]
Nghĩa là \( x \) có thể có các giá trị 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 79, 88, 97.

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị hợp lệ của \( x \) thỏa mãn cả hai điều kiện \( x \equiv 5 \mod 10 \) và \( x \equiv 7 \mod 9 \).

Xét các giá trị của \( x \) là bội của 10 cộng 5:
- \( x = 5 \)
- \( x = 15 \)
- \( x = 25 \)
- \( x = 35 \)
- \( x = 45 \)
- \( x = 55 \)
- \( x = 65 \)
- \( x = 75 \)
- \( x = 85 \)
- \( x = 95 \)

Bây giờ, ta kiểm tra mỗi giá trị này với điều kiện \( x \equiv 7 \mod 9 \).

1. \( x = 5 \): \( 5 \div 9 = 0 \quad (5) \quad 5 \equiv 5 \mod 9 \)
2. \( x = 15 \): \( 15 \div 9 = 1 \quad (9) \quad 15 - 9 = 6 \implies 15 \equiv 6 \mod 9\)
3. \( x = 25 \): \( 25 \div 9 = 2 \quad (18) \quad 25 - 18 = 7 \implies 25 \equiv 7 \mod 9\)
4. \( x = 35 \): \( 35 \div 9 = 3 \quad (27) \quad 35 - 27 = 8 \implies 35 \equiv 8 \mod 9\)
5. \( x = 45 \): \( 45 \div 9 = 5 \quad (45) \quad 45 \equiv 0 \mod 9\)
6. \( x = 55 \): \( 55 \div 9 = 6 \quad (54) \quad 55 - 54 = 1 \implies 55 \equiv 1 \mod 9\)
7. \( x = 65 \): \( 65 \div 9 = 7 \quad (63) \quad 65 - 63 = 2 \implies 65 \equiv 2 \mod 9\)
8. \( x = 75 \): \( 75 \div 9 = 8 \quad (72) \quad 75 - 72 = 3 \implies 75 \equiv 3 \mod 9\)
9. \( x = 85 \): \( 85 \div 9 = 9 \quad (81) \quad 85 - 81 = 4 \implies 85 \equiv 4 \mod 9\)
10. \( x = 95 \): \( 95 \div 9 = 10 \quad (90) \quad 95 - 90 = 5 \implies 95 \equiv 5 \mod 9\)

Vậy chỉ có giá trị \( x = 25 \) thỏa mãn cả hai điều kiện.

Cuối cùng, ta tính \( N \):
\[
N = 200 + 25 = 225
\]

Do đó, số học sinh khối 5 của trường tiểu học là \( 225 \).