Để chứng minh CM là tia phân giác của góc ACB, ta sử dụng một số tính chất hình học cơ bản và định nghĩa của trung điểm.

1. **Ký hiệu và giả thiết**:
- Gọi A, B là hai điểm cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vậy ta có \( AM = MB \).
- Qua M, chúng ta kẻ đường thẳng d vuông góc với AB.
- Lấy điểm C trên đường thẳng d, với C khác M.

2. **Chứng minh**:
- Ta cần chứng minh rằng \( \frac{AC}{BC} = \frac{AM}{BM} \).
- Vì M là trung điểm, nên \( AM = MB \).

3. **Tính toán độ dài**:
- Gọi độ dài \( AC = x \) và \( BC = y \).
- Trong tam giác vuông AMC và BMC (do đường thẳng d vuông góc với AB), ta có thể áp dụng định lý Pythagore:
- \( AC^2 = AM^2 + CM^2 \) (1)
- \( BC^2 = BM^2 + CM^2 \) (2)

4. **Sử dụng tính chất vuông góc**:
- Từ (1) và (2), ta nhận thấy rằng \( CM \) đều là cạnh thứ ba trong hai tam giác vuông AMC và BMC. Vì M là trung điểm, nên \( AM = MB \) và từ đó, ta có:
\[
AC^2 - BC^2 = (AM^2 + CM^2) - (BM^2 + CM^2) = AM^2 - MB^2 = 0
\]
- Điều này dẫn đến \( AC^2 = BC^2 \), hay \( AC = BC \) trong trường hợp này.

5. **Kết luận**:
- Nếu \( AC = BC \), điều này có nghĩa là CM chia đôi góc ACB.
- Vậy nên, CM chính là tia phân giác của góc ACB.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng CM là tia phân giác của góc ACB.