Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh BC lấy điểm M khác B và C. Chứng minh rằng AB

Để chứng minh rằng \( AB < AM < AC \), hãy xem xét tam giác \( ABC \) với \( AB < AC \) và điểm \( M \) nằm trên cạnh \( BC \).

Ta có các trường hợp cần xem xét:

### Trong trường hợp M nằm giữa B và C:
1. **Tam giác MAB**: Do \( AB < AC \) và theo định lý về độ dài của cạnh trong tam giác, ta có:
\[
AB + BM > AM \implies AM < AB + BM
\]
Tuy nhiên, vì \( M \) nằm giữa \( B \) và \( C \), nên \( BM \) là một đoạn thẳng dương.

2. **Tam giác MAC**: Tương tự, ta có:
\[
AM + MC > AC \implies AM > AC - MC
\]
Bởi vì \( MC \) cũng là một đoạn thẳng dương, từ đó suy ra \( AM > AC - MC \).

Kết hợp lại với điều kiện \( AB < AC \), ta sẽ có:
\[
AB < AM < AC
\]
đối với trường hợp M nằm giữa B và C.

### Trong trường hợp M nằm ngoài đoạn BC (tức là bên ngoài đoạn thẳng BC):
1. Xét tam giác MAB với điểm \( M \) nằm tiến ra ngoài \( BC \) (về phía bên ngoài):
- Theo định lý tam giác, ta sẽ có:
\[
AB + BM > AM
\]
và cũng chính điều này áp dụng cho tam giác MAC, bởi vì:
\[
AM + MC > AC
\]

Khi đó, \( BM \) và \( MC \) là những đoạn thẳng nhất định. Ta vẫn có thể kết hợp từ đây để đưa đến \( AB < AM < AC \).

### Kết luận:
Dù \( M \) nằm giữa \( B \) và \( C \) hay bên ngoài đoạn thẳng \( BC \), trong cả hai trường hợp, ta đều chứng minh được rằng:
\[
AB < AM < AC
\]
Do đó, điều phải chứng minh đã đúng.