(1/2²-1)·(1/3²-1)·(1/4²-1)·...·(1/100²-1), Hãy so sánh A với -1/2

Để giải quyết bài toán này, trước hết chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \( A = (1/2^2 - 1) \cdot (1/3^2 - 1) \cdot (1/4^2 - 1) \cdots (1/100^2 - 1) \).

Ta có thể viết lại từng thành phần trong biểu thức:

\[
1/n^2 - 1 = \frac{1 - n^2}{n^2} = -\frac{(n^2 - 1)}{n^2} = -\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}
\]

Vậy biểu thức \( A \) có thể được viết lại thành:

\[
A = - \left( \frac{(1-1)(1+1)}{2^2} \cdot \frac{(2-1)(2+1)}{3^2} \cdot \frac{(3-1)(3+1)}{4^2} \cdots \frac{(99-1)(99+1)}{100^2} \right)
\]

Do đó, chúng ta cần chú ý rằng các yếu tố này đều có giá trị âm cho \( n \geq 2 \).

Bây giờ chúng ta sẽ so sánh \( A \) với \( -\frac{1}{2} A \):

\[
-\frac{1}{2} A = -\frac{1}{2} \cdot \left( (1/2^2 - 1) \cdots \cdots (1/100^2 - 1) \right)
\]

Cả hai biểu thức đều có dấu âm, và do đó chúng ta sẽ đánh giá tương đối về mặt giá trị tuyệt đối.

Khi đánh giá tương đối giữa \( A \) và \( -\frac{1}{2} A \):

Vì \( -\frac{1}{2} A \) sẽ là một nửa giá trị của \( A \), nên rõ ràng:

\[
A < -\frac{1}{2} A \quad \text{(vì \( A < 0 \))}
\]

Vì vậy, so với \( -\frac{1}{2} \), ta cũng có:

\[
A < -\frac{1}{2}
\]

Do đó, câu trả lời là:

- \( A < -\frac{1}{2}A \)
- \( A < -\frac{1}{2} \)