Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác cân và hình học phẳng.

### a) Chứng minh ∆ADE cân.
1. **Xét tam giác ABC**: Đã cho ∆ABC cân tại A, tức là AB = AC.
2. **Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng**: Ta đã có BD = CE.
3. **Xét tam giác ADE**:
- Ta có AE là trung tuyến từ A đến DE.
- Vì AE là đường trung bình trong tam giác ABC, với AC = AB, ta có AD = AE.
4. **Kết luận**: Từ các yếu tố trên, ta có AD = AE và BD = CE, do đó ∆ADE cân tại A.

### b) Chứng minh ∆BHD = ∆CKE.
1. **Xét các tam giác BHD và CKE**:
- BD = CE (theo giả thiết).
- BH = CK (đều vuông góc với AD).
- HD = KE (do bức tranh hình học).
2. **Áp dụng tiêu chí tam giác bằng nhau**:
- Từ những yếu tố trên, áp dụng tiêu chí Đường chéo, ta có ∆BHD = ∆CKE.

### c) Chứng minh AI là đường trung trực của DE.
1. **Xét hai điểm D và E**.
2. **AI vuông góc với DE**: Do AD = AE và AI kéo dài ra từ A đến DE.
3. **Kết luận**: AI là đường trung trực của DE vì nó vừa vuông góc vừa chia DE thành hai đoạn bằng nhau.

Tóm lại, một phương pháp chứng minh các kết quả này là sử dụng hình học phẳng cùng với các tính chất của tam giác cân.