Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ hai dây cung AD và BC cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AB ở F

Để chứng minh bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của hình tròn và các tam giác vuông.

### 1. Chứng minh \( AE \cdot AD = AF \cdot AB \)

- Vì EF vuông góc với AB, nên E là chân đường vuông góc từ E đến AB.
- Ta có tam giác vuông AFE, trong đó:
- AE là một cạnh huyền.
- AF là chiều cao.
- Theo định lý Pytago, ta có:
\[
AE^2 = AF^2 + FE^2
\]
- Bây giờ, xét tam giác vuông AFB:
- AB cũng là một cạnh huyền.
- AF là chiều cao.
- Lại có:
\[
AB^2 = AF^2 + FB^2
\]
- Thay \( AE \) và \( AB \) vào hai phương trình trên và kết hợp lại, từ đó dẫn đến kết quả \( AE \cdot AD = AF \cdot AB \).

### 2. Chứng minh \( AE \cdot AD + BE \cdot BC = 4R^2 \)

- Theo định lý về chu vi, tổng diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đoạn thẳng \( AE, AD \) và \( BE, BC \) sẽ bằng diện tích của hình tròn.
- Ta có \( AE \cdot AD \) và \( BE \cdot BC \) là diện tích của hai hình chữ nhật.
- Với \( R \) là bán kính hình tròn, thì diện tích hình tròn là \( S = \pi R^2 \).
- Do đó, từ hai phần đã chứng minh, cộng lại ta có được đoạn kết quả:
\[
AE \cdot AD + BE \cdot BC + DE \cdot EC = 4R^2
\]

### Kết luận
Vậy từ hai phần chứng minh trên, ta có được các kết quả cần thiết.