Để giải hệ phương trình đã cho, ta sẽ xem xét từng hàm số \( f(x) \) với các điều kiện tương ứng.

### a) Hàm \( f(x) \)

\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 3x & \text{khi } x \geq 2 \\
6x + 1 & \text{khi } x < 2
\end{cases}
\]

- **Trường hợp 1**: \( x \geq 2 \)

Giải phương trình \( f(x) = 0 \):

\[
x^2 + 3x = 0 \implies x(x + 3) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -3
\]

Cả hai nghiệm \( x = 0 \) và \( x = -3 \) đều không thỏa mãn \( x \geq 2 \). Vậy không có nghiệm trong trường hợp này.

- **Trường hợp 2**: \( x < 2 \)

Giải phương trình \( f(x) = 0 \):

\[
6x + 1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x = -\frac{1}{6}
\]

Nghiệm \( x = -\frac{1}{6} \) thỏa mãn điều kiện \( x < 2 \).

### Kết luận cho (a):
Nghiệm của hàm \( f(x) \) là \( x = -\frac{1}{6} \).

---

### b) Hàm \( f(x) \)

\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 5 & \text{khi } x > 1 \\
3 & \text{khi } x = 1 \\
2x + 1 & \text{khi } x < 1
\end{cases}
\]

- **Trường hợp 1**: \( x > 1 \)

Giải phương trình \( f(x) = 0 \):

\[
x^2 + 5 = 0
\]

Phương trình này không có nghiệm thực.

- **Trường hợp 2**: \( x = 1 \)

Phương trình \( f(1) = 3 \neq 0 \) nên không có nghiệm.

- **Trường hợp 3**: \( x < 1 \)

Giải phương trình \( f(x) = 0 \):

\[
2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}
\]

Nghiệm \( x = -\frac{1}{2} \) thỏa mãn điều kiện \( x < 1 \).

### Kết luận cho (b):
Nghiệm của hàm \( f(x) \) là \( x = -\frac{1}{2} \).

---

### Tổng kết:
- Nghiệm của \( f(x) \) trong trường hợp (a) là \( x = -\frac{1}{6} \).
- Nghiệm của \( f(x) \) trong trường hợp (b) là \( x = -\frac{1}{2} \).