Tìm các giá trị của a để hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \)

Để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \), chúng ta cần đảm bảo rằng hàm số này liên tục tại điểm \( x = a \).

Hàm số \( f(x) \) được định nghĩa như sau:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x + 1 & \text{nếu } x \leq a \\
x^2 & \text{nếu } x > a
\end{cases}
\]

Để hàm số liên tục tại \( x = a \), ta cần tính giới hạn khi \( x \) tiến đến \( a \) từ cả hai phía và so sánh với giá trị hàm tại \( x = a \).

1. Tính \( f(a) \):
\[
f(a) = a + 1 \quad (\text{vì } a \leq a)
\]

2. Tính \( \lim_{x \to a^-} f(x) \):
\[
\lim_{x \to a^-} f(x) = a + 1
\]

3. Tính \( \lim_{x \to a^+} f(x) \):
\[
\lim_{x \to a^+} f(x) = a^2
\]

Để hàm số liên tục tại \( x = a \), ta cần:
\[
\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)
\]

Điều này tương đương với:
\[
a + 1 = a^2
\]

Giải phương trình:
\[
a^2 - a - 1 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Vậy các giá trị của \( a \) để hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) là:
\[
a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{và} \quad a = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
\]