Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( A = 4y - 2xy \) dưới điều kiện \( A = 2x^2 + y^2 \), chúng ta hãy phân tích từng biểu thức.

Trước tiên, ta có hai biểu thức:

\[
A = 4y - 2xy
\]
\[
A = 2x^2 + y^2
\]

Ta có thể đặt hai biểu thức này bằng nhau:

\[
4y - 2xy = 2x^2 + y^2
\]

Chuyển tất cả về một bên để tạo thành một phương trình:

\[
-2xy + y^2 + 4y - 2x^2 = 0
\]

Biểu thức này có thể xem như một phương trình bậc hai theo biến \( y \):

\[
y^2 - (2x - 4)y - 2x^2 = 0
\]

Để phương trình bậc hai có nghiệm, điều kiện cần là phần b discriminant \( \Delta \) của phương trình này phải lớn hơn hoặc bằng 0:

\[
\Delta = (2x - 4)^2 + 8x^2
\]

Tính toán \( \Delta \):

\[
\Delta = 4x^2 - 16x + 16 + 8x^2 = 12x^2 - 16x + 16
\]

Khi nào \( \Delta \geq 0 \) sẽ cho ta điều kiện tồn tại nghiệm cho \( y \). Ta cần giải bất phương trình:

\[
12x^2 - 16x + 16 \geq 0
\]

Giải phương trình bậc hai tương ứng:

\[
12x^2 - 16x + 16 = 0
\]

Tính Δ:

\[
\Delta = (-16)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 16 = 256 - 768 = -512
\]

Vì Δ âm, phương trình không có nghiệm thật và BPT không có nghiệm. Do đó, A luôn bền vững với mọi x và y nào thỏa mãn điều kiện.

Sau đó, ta sẽ sử dụng điều kiện tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng phương pháp đạo hàm. Ta cần tìm giá trị tương ứng khi A đạt cực tiểu. Lần lượt tính đạo hàm theo x và y.

Tóm lại, ta không xác định được một cách cụ thể mà không rõ ràng về các điều kiện đặt ra cho x, y nên CT của A không xác định được giá trị nhỏ nhất mà có thể tối ưu. Cần thêm điều kiện nếu có cho giá trị nhất định hoặc a và b cụ thể.

Kết luận, giá trị nhỏ nhất mà biểu thức A có thể đạt được tùy thuộc vào các giá trị cụ thể x, y và không có giá trị nhỏ nhất cụ thể. Cần thêm thông tin hoặc điều kiện cho bài toán này!