Để tìm cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn phương trình:

\[
2xy + 6x^2 + 3x = 11
\]

ta có thể biến đổi phương trình này. Đầu tiên, ta sẽ nhóm lại các hạng tử liên quan đến \( y \):

\[
2xy = 11 - 6x^2 - 3x
\]

Thay đổi phương trình thành:

\[
y = \frac{11 - 6x^2 - 3x}{2x}
\]

Để \( y \) là số nguyên, tử số \( 11 - 6x^2 - 3x \) phải chia hết cho \( 2x \). Trước hết, ta sẽ thử các giá trị nguyên của \( x \) để kiểm tra cho ra giá trị nguyên \( y \).

### Xét các giá trị của \( x \):

1. **Nếu \( x = 1 \)**:
\[
y = \frac{11 - 6(1)^2 - 3(1)}{2(1)} = \frac{11 - 6 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1
\]
=> Cặp \((1, 1)\)

2. **Nếu \( x = 2 \)**:
\[
y = \frac{11 - 6(2)^2 - 3(2)}{2(2)} = \frac{11 - 24 - 6}{4} = \frac{-19}{4} \quad (không phải số nguyên)
\]

3. **Nếu \( x = 3 \)**:
\[
y = \frac{11 - 6(3)^2 - 3(3)}{2(3)} = \frac{11 - 54 - 9}{6} = \frac{-52}{6} \quad (không phải số nguyên)
\]

4. **Nếu \( x = 0 \)**:
\[
y = \frac{11 - 6(0)^2 - 3(0)}{2(0)} \quad (không xác định)
\]

5. **Nếu \( x = -1 \)**:
\[
y = \frac{11 - 6(-1)^2 - 3(-1)}{2(-1)} = \frac{11 - 6 + 3}{-2} = \frac{8}{-2} = -4
\]
=> Cặp \((-1, -4)\)

6. **Nếu \( x = -2 \)**:
\[
y = \frac{11 - 6(-2)^2 - 3(-2)}{2(-2)} = \frac{11 - 24 + 6}{-4} = \frac{-7}{-4} \quad (không phải số nguyên)
\]

7. **Nếu \( x = -3 \)**:
\[
y = \frac{11 - 6(-3)^2 - 3(-3)}{2(-3)} = \frac{11 - 54 + 9}{-6} = \frac{-34}{-6} = \frac{17}{3} \quad (không phải số nguyên)
\]

### Các cặp số nguyên tìm được:
- \( (1, 1) \)
- \( (-1, -4) \)

### Kết luận
Cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn phương trình \( 2xy + 6x^2 + 3x = 11 \) là \( (1, 1) \) và \( (-1, -4) \).