Cho x; y; z là các số thực dương thỏa mãn:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + (y + z)^3}} + \sqrt{\frac{y^3}{y^3 + (z + x)^3}} + \sqrt{\frac{z^3}{z^3 + (x + y)^3}}
\]

với điều kiện \(x + y + z = 9\) và \(x, y, z > 0\), ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

\[
\left( \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + (y + z)^3}} + \sqrt{\frac{y^3}{y^3 + (z + x)^3}} + \sqrt{\frac{z^3}{z^3 + (x + y)^3}} \right)^2 \leq (1 + 1 + 1) \left( \frac{x^3}{x^3 + (y + z)^3} + \frac{y^3}{y^3 + (z + x)^3} + \frac{z^3}{z^3 + (x + y)^3} \right)
\]

Kết hợp các điều kiện, ta có thể thấy rằng \(A\) có thể đạt được giá trị nhỏ nhất khi \(x = y = z = 3\) (bởi vì \(x + y + z = 9\)). Từ đó ta kiểm tra giá trị của \(A\) tại điểm này.

Khi \(x = y = z = 3\):

\[
A = 3 \cdot \sqrt{\frac{3^3}{3^3 + (3 + 3)^3}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{27}{27 + 216}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{27}{243}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{9}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(1\).