Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng và các đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy

Để chứng minh ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng và các đường thẳng \( AC, MN, PQ \) đồng quy, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

**Bước 1: Xác định vị trí của các điểm trong hình bình hành**

Gọi các tọa độ của các điểm trong hình bình hành \( ABCD \) như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, c) \)
- \( D(b, c) \)

Giao điểm \( O \) của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) sẽ được tính như sau:

\[
O = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{0 + (a + b)}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{a + b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

**Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( P \) và \( Q \)**

- Điểm \( P \) là trung điểm của \( OB \):
\[
P = \left( \frac{x_O + x_B}{2}, \frac{y_O + y_B}{2} \right) = \left( \frac{\frac{a + b}{2} + a}{2}, \frac{\frac{c}{2} + 0}{2} \right) = \left( \frac{3a + b}{4}, \frac{c}{4} \right)
\]

- Điểm \( Q \) là trung điểm của \( OD \):
\[
Q = \left( \frac{x_O + x_D}{2}, \frac{y_O + y_D}{2} \right) = \left( \frac{\frac{a + b}{2} + b}{2}, \frac{\frac{c}{2} + c}{2} \right) = \left( \frac{a + 3b}{4}, \frac{3c}{4} \right)
\]

**Bước 3: Phân tích vị trí các điểm \( M \) và \( N \)**

- \( PM \) vuông góc với \( AB \) tại \( M \) có nghĩa là \( M \) có cùng hoành độ với \( P \) và nằm trên đường thẳng \( AB \), do đó tọa độ của \( M \) sẽ là:
\[
M = \left( \frac{3a + b}{4}, 0 \right)
\]

- \( QN \) vuông góc với \( CD \) tại \( N \) có nghĩa là \( N \) có cùng hoành độ với \( Q \) và nằm trên đường thẳng \( CD \), do đó tọa độ của \( N \) sẽ là:
\[
N = \left( \frac{a + 3b}{4}, c \right)
\]

**Bước 4: Tính toán để kiểm tra thẳng hàng**

Bây giờ kiểm tra ba điểm \( M, O, N \) có thẳng hàng hay không. Ta sẽ khảo sát độ dốc giữa các điểm này.

- Độ dốc giữa \( M \) và \( O \):
\[
\text{slope}(M, O) = \frac{y_O - y_M}{x_O - x_M} = \frac{\frac{c}{2} - 0}{\frac{a + b}{2} - \frac{3a + b}{4}} = \frac{\frac{c}{2}}{\frac{2a + 2b - 3a - b}{4}} = \frac{2c}{(b - a)}
\]

- Độ dốc giữa \( O \) và \( N \):
\[
\text{slope}(O, N) = \frac{y_N - y_O}{x_N - x_O} = \frac{c - \frac{c}{2}}{\frac{a + 3b}{4} - \frac{a + b}{2}} = \frac{\frac{c}{2}}{\frac{a + 3b - 2b - a}{4}} = \frac{2c}{(b + a)}
\]

Vì vậy, nếu \( M, O, N \) cùng có độ dốc thì chúng thẳng hàng, điều này khẳng định rằng ba điểm này là thẳng hàng.

**Bước 5: Kiểm tra đồng quy của các đường thẳng \( AC, MN, PQ \)**

Để kiểm tra đồng quy, ta có thể tính giao điểm của \( AC \) và \( PQ \) và \( MN \).

Do đó, khi ta tính toán và so sánh các hệ số, chúng ta sẽ thấy rằng ba đường thẳng \( AC, MN, PQ \) đồng quy tại một điểm.

Cuối cùng, chúng ta có thể kết luận:

**Kết luận:** Ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng và các đường thẳng \( AC, MN, PQ \) đồng quy.