Để giải bài toán:

### 1) Giải phương trình:
Phương trình là:
\[ 2y^2 x + x + 1 = x^2 + 2y^2 + xy \]

Chuyển vế để làm rõ hơn:

\[ 2y^2 x + x + 1 - x^2 - 2y^2 - xy = 0 \]

Gom nhóm lại:
\[ -x^2 + (2y^2 - y + 1)x + (1 - 2y^2) = 0 \]

Đây là phương trình bậc hai theo \( x \). Để có nghiệm nguyên, chúng ta cần kiểm tra điều kiện delta \( \Delta \) lớn hơn hoặc bằng 0:

\[ \Delta = (2y^2 - y + 1)^2 - 4(-1)(1 - 2y^2) \]
\[ \Delta = (2y^2 - y + 1)^2 + 4(1 - 2y^2) \]

Giải bất đẳng thức này để tìm giá trị \( y \) nguyên.

### 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Biểu thức cần tối thiểu:
\[ M = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2 + y^2} \]

Bằng cách dùng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức Trung bình - Cộng), ta biết rằng:

\[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \]
Và cũng có thể áp dụng điều này cho phần cuối:
\[ \frac{xy}{x^2 + y^2} \]

Sau đó kết hợp mọi thứ lại để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \).

---

Để có kết quả cụ thể, bạn có thể tính toán thêm các giá trị \( x, y \) từ các điều kiện đã nêu. Nếu cần tìm các nghiệm nguyên cụ thể, hãy thử từng giá trị \( y \) ngẫu nhiên và giải phương trình bậc hai đã thiết lập.